Innanzitutto va detto che i due aggettivi sono più frequentemente usati in riferimento alle persone che agiscono, non alle azioni eseguite. 
Detto questo, solerte e sollecito sono solo in parte sinonimi, perché è possibile individuare sfumature di significato che appartengono soltanto a uno dei due aggettivi e non all'altro. Sollecita è una persona che svolge un determinato compito o un'azione con cura e impegno; solerte, invece, è una persona che agisce con impegno in tutte le attività che sono proprie del suo ruolo. Ad esempio, uno studente solerte è uno studente che si impegna in tutte le attività proprie di uno studente; uno studente sollecito è uno studente che ha svolto un compito qualsiasi (non per forza legato al ruolo di studente) velocemente e con cura. Infatti ha perfettamente senso dire "Mario è uno studente solerte", molto meno "Mario è uno studente sollecito"; allo stesso modo, ha senso dire "Mario è stato sollecito nell'aiutare il suo compagno" (cioè 'è stato rapido e premuroso'), molto meno "Mario è stato solerte nell'autare il suo compagno".
Si badi, in conclusione, che nell'aggettivo sollecito è contenuto sia il tratto [+ veloce] sia il tratto [+ con cura]; è, del resto, facile che i due tratti si fondano e si confondano (si pensi anche alla parola premura, che significa tanto 'cura' quanto 'fretta'). Questa confusione è meno evidente, per quanto comunque percepibile, in solerte.
Fabio Ruggiano