L'espressione grammaticalmente corretta è la migliore gioventù; l'uso dell'avverbio meglio al posto dell'aggettivo migliore è un tratto dell'italiano popolare, e va evitato in contesti anche di media formalità, specie nello scritto.
L'espressione è, ovviamente, ammissibile come citazione del titolo della raccolta di poesie di Pier Paolo Pasolini del 1954, appunto La meglio gioventù. Con quel titolo sgrammaticato, il poeta intendeva imitare il parlato popolare, come ad anticipare il carattere dimesso e intimistico delle sue poesie. Il titolo è stato, come è noto, ripreso da un film di Marco Tullio Giordana del 2003. 
Fabio Ruggiano